f(x)[a,b]递增，在[b，c]也递增，那么为什么f(x)在[a,c]未必是增函数或减函数？

上面的一些方法都是猜想或用特殊值法，不可信，下面给出正确答案：
f(x)在[a,c]上必定是递增
反证法
假设f(x)在[a,c]不是递增，那么f(c)-f(a)一定小于或等于0
因为 f(x)在[a,b]递增，所以f(a)<f(b)
又因为 f(x)在[b，c]递增,所以f(b)<f(c)
所以 f(a)<f(c)
所以 f(c)-f(a)>0 和假设相矛盾
所以 f(x)在[a,c]上必定是递增
特别说明：该函数不可能是分段函数，如果是分段函数，那么其中一个区间必定是开区间，不可能两个都是闭区间，区间形式应是：[a,b]与(b,c]或[a,b）与[b,c]

可能是分段的

如果[a,b]和[b,c]全部是方括号，那f(x)肯定是增函数；如果b那边是圆括号还是可能的，函数f(x)在b点间断。

比如分段函数：f(x)=x+b x≤0
f(x)=x x>0 就不是！

如果你这样问的话,这句话是错的.
f(x)[a,b]递增，在[b，c]也递增
我认为一定是增函数!
楼上的例子是错的.
假设
a=1
b=2
c=3
在[a,b]f(x)的值域是[2.3]
在（b，c]f(x)的值域是（0.1]
在[a,b]上递增,说明f(b)=3,
在[b,c]上递增,说明f(b)是什么呢???一定是3呀!但她的例子不是,
举例不当.
所以我说你这句话是错的,
在[a,c]是递增的.
假设在[a,b]值域是[y1,y2],递增,
在[b,c]值域是[y3,y4]
证明在[a,c]是递增的.
证明:
设a<=x1<=b<=x2<=c
依题意可知:
f(a)=y1,f(b)=y2=y3,f(c)=y4
f(x1)-f(x2)<f(b)-f(b)=0
所以
在[a